Chances, casa a casa

Chances de ganhar no Plinko em 8, 12 e 16 linhas, calculadas casa a casa

Toda casa de um tabuleiro com divisão igual tem uma chance que você calcula só contando rotas. As listas abaixo trazem essas chances para três alturas de tabuleiro, junto com o limite do que uma porcentagem pode dizer sobre uma única queda.

Chances de ganhar no Plinko, no sentido em que as pessoas as procuram, são na verdade as chances de a bola chegar a cada casa. Essas chances vêm de contar rotas entre os pinos, então podem ser escritas com exatidão para qualquer altura de tabuleiro. Esta página as lista para 8, 12 e 16 linhas, transforma porcentagens em números do tipo 1 em N e depois mostra como a tabela de prêmios decide quais dessas casas contam como vitória.

Tabuleiro	Casa da ponta	2ª da ponta	3ª da ponta	4ª da ponta	5ª da ponta	6ª da ponta	7ª da ponta	8ª da ponta	Centro
8 linhas 9 casas, 256 caminhos	0,39 %	3,1 %	10,9 %	21,9 %					27,3 %
12 linhas 13 casas, 4.096 caminhos	0,02 %	0,29 %	1,6 %	5,4 %	12,1 %	19,3 %			22,6 %
16 linhas 17 casas, 65.536 caminhos	0,0015 %	0,02 %	0,18 %	0,85 %	2,8 %	6,7 %	12,2 %	17,5 %	19,6 %

Com que frequência uma bola para em cada casa, contado de uma ponta até o centro (a outra metade repete os mesmos números ao contrário). Calculado como os caminhos até a casa divididos por todos os caminhos, supondo que cada pino mande a bola para a esquerda ou para a direita com a mesma chance.

De onde vem cada probabilidade do tabuleiro

Num tabuleiro em que cada pino manda a bola para a esquerda ou para a direita com a mesma chance, um tabuleiro de n linhas tem 2ⁿ rotas igualmente prováveis. A bola termina na casa k, contando a partir da ponta esquerda como casa 0, quando exatamente k das suas n viradas foram para a direita. O número de rotas até a casa k é C(n, k), a quantidade de maneiras de escolher k itens entre n. Essas são chances do tabuleiro em si, separadas da questão de quais cassinos sequer o carregam — pergunta que a ordenação em cassinos cripto com Plinko responde.

A probabilidade da casa k é, portanto, C(n, k) dividido por 2ⁿ. Nada mais entra na fórmula: nem a aposta, nem o nível de risco, nem a cor da bola, nem o que aconteceu na queda anterior. O passo a passo de uma única queda mostra por que a casa é simplesmente uma contagem de viradas à direita.

Chances de ganhar no Plinko em 8, 12 e 16 linhas

A figura acima põe as três alturas lado a lado. Os mesmos números estão escritos aqui, de cada ponta em direção ao centro; a outra metade do tabuleiro os repete ao contrário.

O triângulo de Pascal até a linha 8, terminando em 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1 — o número de caminhos até cada uma das nove casas de um tabuleiro de 8 linhas, 256 no total — Cada número é a soma dos dois acima dele, que é exatamente como os caminhos se juntam num tabuleiro. A linha de baixo conta as rotas até cada casa: 256 rotas ao todo.

8 linhas, 256 rotas

Casa da ponta: 1 rota, 0,39 %, cerca de 1 em 256.
Casa seguinte: 8 rotas, 3,13 %, cerca de 1 em 32.
Terceira casa: 28 rotas, 10,94 %, cerca de 1 em 9.
Quarta casa: 56 rotas, 21,88 %, cerca de 1 em 4,6.
Casa central: 70 rotas, 27,34 %, cerca de 1 em 3,7.

12 linhas, 4.096 rotas

Casa da ponta: 1 rota, 0,024 %, 1 em 4.096.
Segunda: 12 rotas, 0,29 %, cerca de 1 em 341.
Terceira: 66 rotas, 1,61 %, cerca de 1 em 62.
Quarta: 220 rotas, 5,37 %, cerca de 1 em 19.
Quinta: 495 rotas, 12,08 %, cerca de 1 em 8,3.
Sexta: 792 rotas, 19,34 %, cerca de 1 em 5,2.
Centro: 924 rotas, 22,56 %, cerca de 1 em 4,4.

16 linhas, 65.536 rotas

Casa da ponta: 1 rota, 0,0015 %, 1 em 65.536.
Segunda: 16 rotas, 0,024 %, 1 em 4.096.
Terceira: 120 rotas, 0,18 %, cerca de 1 em 546.
Quarta: 560 rotas, 0,85 %, cerca de 1 em 117.
Quinta: 1.820 rotas, 2,78 %, cerca de 1 em 36.
Sexta: 4.368 rotas, 6,67 %, 1 em 15.
Sétima: 8.008 rotas, 12,22 %, cerca de 1 em 8,2.
Oitava: 11.440 rotas, 17,46 %, cerca de 1 em 5,7.
Centro: 12.870 rotas, 19,64 %, cerca de 1 em 5,1.

A página sobre a altura do tabuleiro explica por que a fatia do centro cai e as pontas somem conforme se acrescentam linhas.

Conferindo uma contagem na mão

Qualquer contagem de rotas desta página pode ser conferida numa calculadora de bolso. C(n, k) é n multiplicado k vezes para baixo, dividido por k fatorial. Para a quinta casa a partir da ponta em 16 linhas, k é 4:

Em cima: 16 × 15 × 14 × 13 = 43.680.
Embaixo: 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
Divida: 43.680 ÷ 24 = 1.820 rotas.

Depois divida pelo total de rotas, 65.536, e o resultado é 0,0278, ou 2,78 %. Uma conferência rápida é que as contagens de uma altura sempre somam 2ⁿ, e que a lista se lê igual de qualquer uma das pontas.

O que conta como vitória depende da tabela de prêmios

Uma casa só é vitória se o multiplicador impresso nela estiver acima de 1×. A contagem de rotas não pode dizer isso; a tabela pode. Então a chance de uma queda vitoriosa é a soma das probabilidades de todas as casas impressas acima de 1×.

Pegue uma tabela inventada de 8 linhas que diga 6×, 2×, 1,2×, 0,9× e 0,5× da ponta ao centro. As casas acima de 1× são as três externas de cada lado, somando 2 + 16 + 56 = 74 rotas de 256. Neste exemplo, 28,9 % das quedas voltam maiores que a aposta e 71,1 % voltam menores.

Agora troque por uma segunda tabela inventada para a mesma altura: 26×, 4×, 1,5×, 0,3× e 0,2×. As mesmas seis casas externas ficam acima de 1×, então a chance de uma queda vitoriosa neste exemplo continua 28,9 %. O que mudou foi o tamanho dessas vitórias e o tamanho das perdas no meio, que é o assunto da página dos níveis de risco.

Um exemplo de 16 linhas mostra um terceiro padrão. Suponha uma tabela hipotética que imprima valores acima de 1× nas seis casas externas de cada lado, exatamente 1× na sétima e abaixo de 1× nas três casas centrais. As chances se dividem em 21,0 % acima da aposta, 24,4 % devolvendo-a sem mudança e 54,5 % abaixo dela.

«1 em N» não é uma fila

Um número como 1 em 256 descreve um longo prazo, não uma fila. Toda queda começa do zero, e a bola não tem memória das quedas anteriores. Uma casa da ponta que não aparece há 500 quedas num tabuleiro de 8 linhas é exatamente tão provável na queda 501 quanto era na primeira.

Gráficos de barras da chance de cada casa em tabuleiros de Plinko de 8, 12 e 16 linhas desenhados numa mesma escala: a casa central cai de 27,34 % para 22,56 % e depois 19,64 %, enquanto as casas das pontas encolhem para 0,39 %, 0,024 % e 0,0015 % — Mesma escala nos três painéis. Mais linhas espalham a bola por mais casas, então o meio fica mais baixo e as casas externas ficam raras muito rápido.

A aritmética mostra como é frouxo o elo entre «1 em N» e a experiência. Em 8 linhas, a chance de alcançar uma ponta específica pelo menos uma vez em 256 quedas é de apenas uns 63,3 %. A chance de não alcançar ponta alguma em 256 quedas, mesmo esperando duas visitas em média, é de cerca de 13,4 %.

É por isso que nenhum aplicativo ou observador de padrões pode dizer qual casa vem a seguir. As chances acima são tudo o que há para saber, e elas se reiniciam a cada queda.

Das chances ao retorno esperado

Probabilidades só viram dinheiro pela tabela de prêmios. O retorno de longo prazo de um tabuleiro é a probabilidade de cada casa multiplicada pelo multiplicador dela, somado por todas as casas. Para a primeira tabela inventada de 8 linhas acima, essa soma é 96,48 %, ou seja, essa tabela de exemplo devolve cerca de 96,5 centavos por real num prazo muito longo. A página dos multiplicadores faz a mesma conta para 16 linhas.

Lidas assim, as chances de ganhar no Plinko descrevem com que frequência cada resultado aparece, enquanto o retorno descreve quanto esses resultados valem em média. Nenhum dos dois promete nada sobre uma sessão de algumas centenas de quedas, e nenhum deles pode ser mudado escolhendo a hora de apertar o botão.

Usando esses números com juízo

O valor prático da tabela é ajustar a expectativa. Antes de escolher uma altura e um nível de risco, olhe quão raras são as casas com valores grandes impressos e pergunte quantas quedas o seu orçamento cobre. Se o orçamento cobre 300 quedas em 16 linhas, as pontas são, na prática, decoração.

Apostar é para maiores de 18 anos. Decida um orçamento de antemão e pare quando ele acabar, tenha a bola encontrado as casas que tiver encontrado.

Perguntas que as pessoas digitam sobre o tabuleiro

Quais são as chances de ganhar no Plinko numa única queda?

Depende da altura do tabuleiro e da tabela de prêmios. A altura fixa a probabilidade de cada casa; a tabela decide quais casas pagam mais do que a aposta. Numa tabela inventada de 8 linhas com valores acima de 1× nas três casas externas de cada lado, 28,9 % das quedas voltam maiores que a aposta. Some as probabilidades de todas as casas impressas acima de 1× para chegar ao número de qualquer tabuleiro real.

Se uma casa da ponta não aparece há muito tempo, ela está «devendo»?

Não. Cada queda é um conjunto novo de escolhas entre esquerda e direita, sem memória das quedas anteriores. Em 8 linhas, uma casa da ponta é 1 em 256 em toda queda, tenha ela aparecido um instante atrás ou não aparecido por mil quedas. Um intervalo longo é uma característica normal de eventos raros, não um sinal de que um está para chegar.

As probabilidades mudam com o nível de risco?

Não. O nível de risco muda os números impressos sob as casas, não as rotas até elas. A chance de cada casa continua exatamente como a contagem de rotas a dá. O que pode mudar com o nível de risco é quais casas ficam impressas acima de 1×, e em quanto, então a chance de uma queda que supere a aposta pode se deslocar mesmo com a bola se comportando igual.