O segundo número

Variância medida: a dispersão que um número de retorno nunca mostra

Duas tabelas de prêmios podem devolver quase a mesma fatia das apostas e ainda assim produzir sessões completamente diferentes. A diferença é a dispersão dos resultados, e ela se calcula com a mesma facilidade do retorno.

A variância no Plinko é a medida de quanto os resultados se afastam da média deles, e é o número que quase ninguém olha. Um número de retorno diz o que um tabuleiro devolve num prazo extremamente longo. Ele não diz nada sobre quão esburacada é a estrada e, para quem joga algumas centenas de quedas, a estrada é a maior parte do que se vive.

Duas tabelas, um tabuleiro

Para manter a aritmética honesta, pegue um tabuleiro de 8 linhas e duas tabelas de prêmios inventadas, lidas da casa de ponta em direção ao centro:

Tabela inventada A: 6×, 2×, 1,2×, 0,9×, 0,5×.
Tabela inventada B: 26×, 4×, 1,5×, 0,3×, 0,2×.

As contagens de rotas são as mesmas para as duas, porque os pinos são os mesmos: 1, 8, 28, 56 e 70 de 256 para cada posição da ponta para dentro. Pesando cada valor pela chance dele, temos um retorno de longo prazo de 96,48 % para a tabela A e de 96,72 % para a tabela B neste exemplo. Julgadas por essa cifra sozinha, são quase gêmeas. A página dos ajustes de risco mostra de onde sai o total de cada tabela.

A dispersão de uma única queda

Variância é a distância quadrática média de um resultado até a média. A raiz quadrada dela, o desvio padrão, é mais fácil de ler porque volta em dinheiro.

Para uma queda de US$ 1, a tabela A tem desvio padrão de cerca de 58 centavos. A tabela B tem cerca de US$ 2,43. O custo médio de uma queda é de uns 3,5 centavos na A e 3,3 centavos na B, então o custo quase não difere enquanto a dispersão é mais de quatro vezes maior na B.

A razão está à vista no tabuleiro. A tabela A paga entre 50 centavos e US$ 6, com a maioria das quedas caindo entre 50 centavos e US$ 1,20. A tabela B paga 20 ou 30 centavos em 71,1 % das quedas e guarda o retorno dela para casas alcançadas muito menos vezes.

Calculando a dispersão da tabela B à mão

O desvio padrão acima não é cifra misteriosa; são cinco linhas. Eleve ao quadrado cada multiplicador da tabela inventada B, pondere pela fatia de rotas e some:

Par de ponta, 26× ao quadrado é 676, vezes 2 de 256: 5,281.
Par seguinte, 4× ao quadrado é 16, vezes 16 de 256: 1,000.
Terceiro par, 1,5× ao quadrado é 2,25, vezes 56 de 256: 0,492.
Quarto par, 0,3× ao quadrado é 0,09, vezes 112 de 256: 0,039.
Centro, 0,2× ao quadrado é 0,04, vezes 70 de 256: 0,011.

O total é 6,824. Subtraia o quadrado do retorno, 0,9672 ao quadrado, que dá 0,935, e sobram 5,888. A raiz quadrada disso, 2,43, é a dispersão de uma queda de um dólar neste exemplo. Repare que o par de ponta fornece mais de três quartos do total: é nos valores raros e grandes que mora a dispersão.

Como a variância muda com o número de quedas

Aqui está a regra que mais importa. Ao longo de uma sequência de N quedas, o custo esperado cresce no mesmo passo de N, enquanto a dispersão cresce só com a raiz quadrada de N. Trabalhando as duas tabelas de exemplo a US$ 1 por queda:

100 quedas

Tabela A: custo esperado de cerca de US$ 3,52, dispersão de cerca de US$ 5,81.
Tabela B: custo esperado de cerca de US$ 3,28, dispersão de cerca de US$ 24,27.

Contando os resultados exatamente, a tabela A termina à frente em cerca de 25,1 % das vezes e a B em cerca de 39,7 %. Numa sequência curta a tabela mais larga produz mais sessões vencedoras e mais perdas pesadas.

1.000 quedas

Tabela A: custo esperado de cerca de US$ 35, dispersão de cerca de US$ 18.
Tabela B: custo esperado de cerca de US$ 33, dispersão de cerca de US$ 77.

Agora a tabela A termina à frente só em cerca de 3,2 % das vezes, enquanto a B ainda faz isso em cerca de 32,1 %. Só que a tabela B também está US$ 20 ou mais abaixo em cerca de 58,4 % dessas sequências.

10.000 quedas

Tabela A: custo esperado de cerca de US$ 352, dispersão de cerca de US$ 58.
Tabela B: custo esperado de cerca de US$ 328, dispersão de cerca de US$ 243.

Usando uma aproximação normal, a tabela A praticamente nunca está à frente, e a B está à frente em uns 8,8 % das vezes. Conforme a sequência se alonga, o custo médio cresce mais rápido que a dispersão e puxa as duas tabelas para a perda.

Lendo a variância na prática

A variância não muda o custo de jogar; o retorno da tabela de prêmios é que faz isso. O que a variância muda é a faixa de sessões para a qual você deveria estar preparado. Uma tabela estreita faz uma sessão se comportar bem parecido com a média dela, então o desfecho é previsível e sem graça. Uma tabela larga faz as sessões individuais se espalharem, e um orçamento pode sumir ou crescer por um tempo antes de a média se impor.

A altura acrescenta uma segunda camada. Em 16 linhas cada casa de ponta é alcançada uma vez a cada 65.536 quedas, então qualquer valor grande ali contribui com uma dispersão que quase nenhuma sessão vai encontrar de fato. A página da contagem de linhas trabalha essas chances de ponta. A página das tabelas de multiplicadores mostra o quão pouco um valor de topo raro acrescenta ao retorno.

Ajuste algum, momento algum e sequência de apostas alguma removem o custo; eles só remodelam a dispersão em torno dele. Apostar é para maiores de 18 anos. Escolha um orçamento que aguente a ponta larga da dispersão, não só a média.

Perguntas que as pessoas digitam sobre o tabuleiro

Uma tabela com variância maior é pior?

No longo prazo não, se o retorno dela for o mesmo. Nas duas tabelas inventadas aqui, a mais larga até devolve um pouco mais. Variância maior significa que as sessões se espalham mais nas duas direções, então um orçamento pequeno pode acabar depressa ou crescer por um tempo. O custo por queda vem do número de retorno, e é por isso que vale ler os dois números juntos.

Como estimo a dispersão de um tabuleiro real?

Pegue a tabela de prêmios das suas linhas e do seu nível de risco e as contagens de rotas daquela altura. Para cada casa, eleve o multiplicador ao quadrado e pondere pela chance da casa, some tudo e então subtraia o quadrado do retorno. A raiz quadrada do resultado é o desvio padrão de uma queda de uma unidade. Multiplique pela aposta e pela raiz quadrada do número de quedas.